Descrizione del metodo

Scarica questa pagina in formato pdf per consultarla successivamente

Descrizione del metodo

Misura dell’angolo di parallasse e descrizione del metodo seguito dall’astrometrista Vittorio Goretti

A cura di Vittorio Goretti e Mauro Spadolini

Alcune premesse per non specialisti

 Dato che si parlerà di secondi d’arco (as – arcseconds) e millisecondi d’arco (mas – milliarcseconds), diciamo subito che il secondo d’arco è un tremilaseicentesimo di grado. Per il secondo temporale (s) dell’ ascensione retta (AR), invece, non c’è bisogno di spiegazioni. Per quanto riguarda le magnitudini (apparenti e assolute) delle stelle, oppure le loro luminosità (apparenti e assolute), così come per le classi spettrali, oppure per il B-V (bi meno vu), si veda la voce seguente del menu: “Help per non astronomi”.

 Si ricorda poi che l’incertezza nelle misure degli angoli di parallasse delle stelle dipende, in primo luogo, dal diametro del telescopio che si usa, e che dal suolo si possono usare telescopi di diametro ben maggiore dei 25÷30 cm di diametro del telescopio che si usa sul satellite dedicato alle misure di parallasse. Si può allora dire che, nonostante il disturbo della turbolenza atmosferica, le misurazioni dal suolo possono essere anche più accurate di quelle ottenute dal satellite, qualora si adottino però alcune precauzioni del tipo illustrato nel seguito.

 Inoltre, tanto più luminoso è il telescopio, tanto più breve sarà (per le stesse stelle) il tempo di esposizione. Ciò comporta un ulteriore vantaggio dei telescopi di un metro di diametro rispetto ai 25÷30 cm di diametro del telescopio del satellite o di Goretti (30 cm). Di fatto l’astrometrista bolognese non può ottenere la precisione degli osservatori astronomici più importanti, a causa della turbolenza atmosferica e del tempo di esposizione più lungo, ma, utilizzando tecniche particolari, riesce ad aumentare la precisione delle sue foto rispetto a quella che avrebbero qualora non fossero “trattate” (si vedano, nel seguito, gli accorgimenti A,B e C).

 In altre parole, limitandoci questa volta al confronto tra telescopi terrestri di piccolo diametro (30 cm) e di diametro più grande (1 m), le immagini delle stelle ottenute con i primi risultano più sfumate (“sfuocate”) e irregolari di quelle ottenute con i telescopi più grossi, sia per il minor diametro del telescopio (che comporta maggior diffrazione e quindi immagini meno puntiformi), sia per il maggior tempo di esposizione (che, a causa della turbolenza atmosferica, comporta immagini “mosse” e irregolari). Goretti, però, usando le tecniche particolari che verranno descritte qui di seguito, riesce a diminuire il divario tra il suo telescopio da 30 cm e quelli da un metro generalmente in uso nei più importanti osservatori terrestri per le misure di parallasse.

 Comunque, si deve ritenere che l’incertezza delle misure degli angoli di parallasse presi dal satellite con telescopio da 25 cm sia attorno ai 20÷30 mas (milliarcseconds) e quindi risultano piuttosto “sospette” le tante precisioni dell’ordine del mas che si leggono su dei cataloghi basati su quelle misurazioni.

 Da quanto detto, risultando per stelle distanti 3000 anni luce angoli di parallasse p (oppure π) attorno al millesimo di secondo d’arco (1 mas), il metodo della parallasse trigonometrica (si veda in figura 1) può essere utilizzato con successo solo per stelle più vicine (ad esempio a meno di 300 anni luce), dal momento che per le stelle lontane l’incertezza delle misure risulterebbe maggiore dei valori degli angoli stessi.

 Pensando poi al diametro della nostra galassia, che è attorno ai 100 000 anni luce, sono pur sempre relativamente “vicine” anche le stelle ad alcune migliaia di anni luce, le più luminose delle quali riusciamo a vedere anche a quella distanza. Tuttavia per la misurazione della loro distanza si dovranno usare altri metodi (spettroscopici, basati sulle Cefeidi, ecc.) che, essendo metodi indiretti, sono però meno precisi del metodo della parallasse che si usa per le stelle più vicine.

Metodo della parallasse trigonometrica come viene attuato da Vittorio Goretti

 Il triangolo rettangolo di parallasse ha l’angolo retto che insiste sul Sole, l’angolo quasi retto che insiste sulla Terra (quando si trova nella posizione in cui la stella risulta essere in quadratura rispetto al Sole) ed il piccolissimo angolo di parallasse che insiste sulla stella sotto misurazione (ma anche sulla Terra), come risulta dalla figura, dove non sono state rispettate le proporzioni tra gli angoli e i lati del triangolo, sia perché non era possibile farlo sia perché il disegno è chiaro anche con questa imprecisione.

parallasse in italiano 300dpi 15 cm

Figura 1

 L’angolo di parallasse può essere calcolato partendo da due serie di foto (ad esempio dieci foto consecutive per ognuna delle due serie) fatte a tre mesi di distanza l’una dall’altra. Il tempo di esposizione di ogni foto dipende dalla luminosità della stella sotto misurazione e dal diametro del telescopio. Per telescopi da 30 cm va da qualche secondo a qualche minuto e deve far sì che le stelle che interessano (stelle di riferimento e stella sotto misurazione) non siano troppo sovraesposte.

 Come esempio si scatta la prima serie di dieci foto il 20 agosto intorno all’ora 1:00 UT (tempo universale), quando la stella sotto osservazione è in opposizione rispetto al Sole (per quanto riguarda la data) e sul meridiano (per quanto riguarda l’orario). Si dovrà poi scattare la seconda serie di dieci foto il 19 o 20 novembre, tre mesi dopo, con la stella in quadratura rispetto al Sole, a cavallo però delle ore 19:00 UT, per avere la stella ancora sul meridiano ed essere quindi, quanto più è possibile, nelle condizioni della prima serie di foto, in modo cioè da evitare errori dovuti alla diversa rifrazione atmosferica. Questo secondo orario, anticipato di sei ore rispetto al primo, è dovuto al fatto che la Terra ruota in senso antiorario (se la si guarda dalla parte in cui la si vede – come in figura – rivoluzionare in senso antiorario intorno al Sole) e quindi nelle ore successive la stella, oltre a non trovarsi più sul meridiano, potrebbe essere già tramontata. Se poi non è stato possibile rispettare la data stabilita (causa maltempo), si dovrà fare un’ultima correzione, come verrà detto più in dettaglio anche in seguito (accorgimento D).

 Si dovrà inoltre tenere conto del “moto proprio” della stella sotto osservazione (e  anche delle stelle di riferimento), affinché i due angoli, che vengono descritti in quei tre mesi sia in ascensione retta sia in declinazione, non interferiscano col fenomeno della parallasse, cioè con la diversa posizione della stella (rispetto alle stelle del fondo che fanno da riferimento) dovuta al diverso punto da cui la si fotografa. Un elevato moto proprio è, praticamente sempre, indice di stella vicina, mentre un piccolo moto proprio non è necessariamente indice di stella lontana: potrebbe infatti trattarsi di una stella vicina che si muove di conserva col Sole e che quindi appare “ferma”, oppure di una stella che si muove (anche velocemente) rispetto al Sole, ma lungo la visuale.

 Per il moto proprio delle stelle ci si riferisce ai dati dei cataloghi ufficiali, che serviranno per correggere le posizioni delle stelle fotografate la seconda volta (sia della stella sotto misurazione, sia delle stelle di riferimento), affinché lo spostamento della stella rispetto alle stelle di riferimento dipenda soltanto dallo spostamento apparente dovuto al fenomeno della parallasse e non dipenda anche dallo spostamento laterale “effettivo” che ha fatto la stella in quei tre mesi. Solo così avrà senso confrontare la nuova posizione della stella con la posizione che aveva tre mesi prima.

 Le singole immagini stellari sono sfumate e spesso irregolari (non hanno cioè sim-metria circolare). Questo loro aspetto di “mosso” e di “sfuocato” è dovuto a molte cause. Come già detto, il “mosso” dipende dalla turbolenza atmosferica che muove le immagini delle stelle nell’intervallo di tempo della singola esposizione (che è tanto più lungo quanto meno luminoso è il telescopio). Lo “sfuocato”, invece, dipende sia dalla diffrazione (che è tanto maggiore quanto più piccolo è il diametro del telescopio) sia dall’eventuale sovraesposizione.

 Per ridurre queste cause di imprecisione sull’individuazione della posizione, ovvero del centro delle immagini (macchie) delle singole stelle, Goretti usa il procedimento A, che generalmente non è necessario con i telescopi più luminosi (tempi di esposizione più brevi e minor diffrazione) e con i telescopi pur piccoli ma in orbita, dove manca la turbolenza atmosferica.

 Per ridurre invece l’incertezza dovuta allo sparpagliamento delle dieci immagini (dovuto alla turbolenza atmosferica), cioè lo spostamento casuale di ognuna delle dieci immagini della stella osservata rispetto alle stelle di riferimento ovvero rispetto al reticolo delle coordinate equatoriali, si usano per i telescopi terrestri gli ulteriori due accorgimenti B e C.

Accorgimenti A, B e C

 A) Le immagini sfumate delle stelle (che sono in negativo e riguardano sia la stella sotto osservazione sia le stelle di riferimento) sono spesso prive di simmetria circolare (sia per quanto riguarda il contorno, sia per quanto riguarda l’intensità dei diversi grigi di ogni singola immagine). In questo caso, per poter determinare il centro dell’immagine (ovvero la posizione della stella), si selezionano (per ogni immagine) macchie più o meno grandi (e di grigio uniforme) a seconda del livello di grigio che si prende come contorno di esse. La macchia più grande è quella che ha come contorno (e all’interno) un grigio molto chiaro, mentre la macchia più piccola è quella che ha come contorno (e all’interno) un grigio molto scuro. Dopodiché si fa una media (ponderata nel modo più opportuno) tra le coordinate dei baricentri delle varie macchie di diverso grigio ottenute con i diversi livelli di grigio selezionati e si trovano i punti che possono essere considerati i “centri” delle immagini irregolari di partenza. In questo modo le posizioni della stella sotto osservazione e delle stelle di riferimento sono affidabili anche nel caso che le immagini di partenza non abbiano simmetria circolare. Se invece le immagini hanno simmetria circolare la determinazione del centro è immediata.

 Il numero delle macchie le cui coordinate dei rispettivi baricentri dovranno essere mediate (ovvero il numero dei livelli di grigio prescelti) varia da tre per le immagini più piccole (che in genere corrispondono alle stelle di riferimento, stelle cioè lontane con moti propri trascurabili – moti propri che comunque non intervengono in nessun modo nel presente discorso), fino a dieci livelli di grigio per le immagini più grandi (che in genere sono le immagini sovraesposte delle stelle sotto misurazione, che sono nane rosse molto vicine, perché su queste si concentra la ricerca di Goretti).

 Per figurarsi meglio il procedimento si può pensare (si veda la figura 2, ottenuta con la collaborazione dell’amico Arrigo Amadori e con l’utilizzo iniziale del programma wx Maxima) di trasformare l’immagine della stella sul piano in una specie di montagnola-gaussiana (irregolare e con la sommità appiattita qualora l’immagine sia sovraesposta) con l’altezza dei punti della sua superficie tanto maggiore quanto più scuri sono i grigi corrispondenti dell’immagine di partenza. [Nella realtà i diversi pixel adiacenti possono avere tonalità di grigio abbastanza diverse, tali da far diventare la superficie della “montagnola” a gradini e non liscia come quella di figura].

 I diversi livelli di grigio prescelti, che formavano il contorno (e l’interno) di macchie piane uniformi, ora costituiscono il contorno (e l’interno) delle diverse sezioni piane orizzontali della montagnola-gaussiana fatte a diverse altezze.

 Per un’immagine appena sovraesposta e non troppo irregolare (ovvero per una montagnola come quella di figura 2, che si riferisce ad una stella di riferimento abbastanza luminosa) possono essere sufficienti poche sezioni, ad esempio tre, come in figura.

 

metodo_figura2

Figura 2

 La prima sezione (di colore verde in figura) quasi alla base, col contorno della se-zione che corrisponde a un grigio molto chiaro dell’immagine; la seconda sezione (di colore blu in figura) a circa mezza altezza, col contorno della sezione che corriponde a un grigio medio dell’immagine; infine la terza sezione (viola nella figura) quasi alla sommità della montagnola, col contorno della sezione che corrisponde così a un grigio scuro quasi quanto il nero centrale dell’immagine di partenza della stella. La media delle coordinate dei baricentri delle tre sezioni della montagnola-gaussiana è ponderata perché la sezione a mezza altezza viene considerata (ad esempio) tre volte, mentre sia la sezione vicina alla base sia quella vicina alla sommità vengono considerate una sola volta.

 B) Le dieci foto consecutive, ovvero le dieci immagini che sono state “trattate” col procedimento del punto A (qualora necessario) per trovarne il baricentro, hanno permesso di trovare le dieci posizioni della stella oggetto di misurazione. Con un programma particolare (MaxIm DSLR) le dieci posizioni vengono sovrapposte, come si vede in figura 3. Abbiamo così i dieci quadratini verdi che sono stati ottenuti per il caso particolare della prima stella della ricerca condotta a Loiano nel 2011 (pagg. 9-14 della seconda ricerca), la HIP 101198 – RA 20 h 30 min 46 s e Dec 27° 57′ 31″, ed abbiamo il loro baricentro.

 Si noti come gli assi siano quotati in forma decimale in quanto per l’ascensione retta AR compaiono solo i secondi temporali e per la declinazione DEC compaiono solo i secondi d’arco. I 46″ temporali ed i 32″ d’arco scritti nella riga qui sopra non corrispondono perfettamente a quelli degli assi del diagramma di figura 3, sia perché sono secondi (temporali e angolari) arrotondati, sia perché si riferiscono all’anno in cui è stato compilato il catalogo.

 C) Per ottenere il baricentro delle posizioni in modo ancor più preciso, si trovano (con lo stesso programma MaxIm DSLR di prima), le posizioni somma (i quadratini rossi di figura 3). Così facendo si diminuisce la dispersione delle posizioni primitive (e quindi l’incertezza della misura) e si ottengono coordinate del baricentro delle posizioni ancor più affidabili, cioè più vicine al vero.

figura3

Figura 3

 Si costruisce poi un analogo diagramma (la figura 3 bis che non viene qui riportata per ragioni di spazio) partendo dalle dieci foto della seconda serie (quando la stella si trova in quadratura), avendo ben presente che, questa volta, le coordinate delle posizioni dovranno essere corrette per tener conto del moto proprio delle stelle (perfino delle stelle di riferimento), che è riportato nei cataloghi ufficiali e che è espresso in secondi temporali all’anno per l’ascensione retta e in secondi d’arco all’anno per la declinazione. I due spostamenti (uno temporale ed uno angolare) vanno divisi per quattro per riportare il moto proprio ai tre mesi che separano le due serie di foto. Poi si fondono le dieci posizioni somma della figura 3 bis con le dieci posizioni somma della figura 3 e si ottiene il diagramma di figura 4, nel quale sono state modificate le scale per ottenere ancora un diagramma quasi quadrato.

metodo_figura4

Figura 4

 Le posizioni somma della seconda serie sono verdi (invece che rosse come erano nella figura 3 bis) solo per poterle distinguere dalle posizioni somma di tre mesi prima, che invece sono rimaste rosse. Come si nota dal confronto con la figura 3, nella figura 4 la scala orizzontale delle ascensioni rette AR è stata contratta a un po’ meno della metà, mentre la scala verticale della declinazione DEC è stata un poco dilatata.

Verso la conclusione

 A questo punto si prende nota delle coordinate equatoriali dei due baricentri delle posizioni somma (i due quadratini col punto nero di figura 4) e si trasformano le loro due ascensioni rette angolari α1 e α2 (ottenute da quelle della figura, che invece sono ancora temporali) e le loro due declinazioni δ1 e δ2 in coordinate eclittiche (longitudini λ1 e λ2 e latitudini β1 e β2) utilizzando le equazioni riportate nella nota finale. Dopodiché si esegue la differenza tra le due longitudini λ2 e λ1 possedute dalla stella alle due date fissate. Si ottiene così l’angolo di parallasse p (o π) espresso in secondi d’arco (as – arcseconds). La figura 1 rappresenta proprio questo angolo sul piano dell’eclittica.

 Si dimostra (geometricamente) che la differenza λ2 – λ1, che è un angolo che insiste sulla Terra, è uguale all’angolo di parallasse p, che insiste sulla stella.

 La differenza tra le due latitudini β2 e β1 deve invece risultare (e risulta) nulla perché, nel passare da coordinate equatoriali a coordinate eclittiche, β1 e β2 risultano uguali in quanto si tratta di una proiezione sul piano dell’eclittica.

 Ulteriore accorgimento (D)

 D) Qualora però la Terra alla data della seconda serie di foto non fosse stata esattamente in quadratura, si deve applicare un opportuno coefficiente correttivo all’angolo di parallasse che è risultato dalla differenza delle due longitudini eclittiche λ1 e λ2. Il coefficiente, un poco maggiore di uno, viene ricavato con una costruzione geometrica basata sulla posizione che aveva la Terra al momento della seconda serie di foto. Il coefficiente trasforma la “parallasse generica” in “parallasse annua”, cioè nell’angolo massimo che si ottiene quando si sottraggono le longitudini della stella nelle due posizioni di quadratura (λ2) e di opposizione (λ1).

Calcolo della distanza

 Finalmente la distanza d della stella (espressa in parsec – pc) sarà data da: d = 1 / p con p = λ2 – λ1 (espresso in secondi d’arco – as).
Se p = 1,0 as, d = 1,0 pc; se p = 0,25 as, d = 4,0 pc; se poi si avesse addirittura
p = 3,1
arcsecond, sarebbe d = 0,32 parsec (si veda la stella GSC 3573 129 a pag 15 della seconda ricerca). Dato che 1 parsec = 3,26 anni luce, risulta che 0,32 parsec equivalgono a poco più di un anno luce di distanza. Goretti avrebbe (ha) quindi scoperto una stella quattro volte più vicina di Proxima Centauri!

 Nella figura 1 è stata riportata, invece, la formula trigonometrica che permette di calcolare la distanza d della stella sia in funzione dell’angolo di parallasse p sia del raggio (medio) R dell’orbita terrestre (R = 150,6 ·106 km). Dato che l’angolo p è piccolo, al massimo due o tre secondi per le stelle più vicine, quelle già scoperte da Goretti (si veda l’appendice di pagina 15 della sua seconda ricerca pubblicata nel gennaio 2013), ma non ancora verificate da altri, si può tranquillamente sostituire la tangente dell’angolo con l’angolo stesso espresso in radianti. Essendo i radianti un numero puro (come del resto lo è la tangente), con questa formula la distanza sarà espressa nell’unità di misura usata per il raggio dell’orbita terrestre, e quindi non più in parsec, come prima, ma in chilometri, milioni di chilometri oppure unità astronomiche.

Calcoli finali

Arrivati a questo punto manca un solo ultimo passaggio per poter posizionare la stella all’altezza giusta sul diagramma di Hertzsprung-Russell (per l’ascissa si guarda invece alla classe spettrale) e quindi classificarla in base alla sua magnitudine assoluta (numero puro), o luminosità assoluta (anch’esso numero puro, perché viene rapportata alla luminosità assoluta del Sole che viene scelta uguale ad una unità).

Nota infatti la distanza della stella d (espressa in parsec) e nota la sua magnitudine apparente m (perché calcolata con la prima formula di Pogson – si veda in “Help per non astronomi”), la seconda formula di Pogson permette di calcolare la sua magnitudine assoluta M, ovvero la magnitudine che avrebbe la stella se fosse alla distanza convenzionale di 10 parsec:
M = m + 5 – 5 · Log d
Per la stella HIP101198 delle figure 3 e 4 (con m = 8,09 – Johnson), risulta:
               p = 0,414 as                e quindi:        d = 1/p = 2,42 parsec (= 7,9 anni luce).
 Di conseguenza:      M = 8,09 + 5 – 5 Log 2,42 = 11,2  con incertezza attorno al 10%.
Si tratta quindi di una nana! Precisamente una nana rossa, con indice di colore B-V attorno a 1,8, ovvero classe spettrale attorno a M8.
Per il catalogo ufficiale, invece, M = 1,2 ± 0,56; p = 0,00418 as [p = (4,18 ± 1,08) mas] e quindi: d = (239 ± 62) parsec [= (780 ± 200) anni luce]. Inoltre, sempre per il catalogo: B-V = 1,133 ± 0,014 e classe spettrale K2 III (si veda alle pagine 12 e 14 della seconda ricerca. K2 è la classe spettrale e III è la classe di luminosità) e quindi si tratterebbe di una gigante arancione.
Chi ha ragione? Goretti o il team Hipparcos? Ai posteri l’ardua sentenza.

È illusorio pretendere di misurare col metodo della parallasse e con telescopi con meno di un metro di diametro la distanza di stelle più lontane di 1000 anni luce, poiché l’errore di misura (l’incertezza di quel tipo di misura) sarebbe maggiore di tre millisecondi d’arco (che è l’angolo di parallasse di quelle stelle). Per stelle più vicine (meno di 300 anni luce), invece, il metodo diretto della parallasse ha il vantaggio di una sufficiente precisione, poiché l’incertezza percentuale è tanto minore quanto maggiore è l’angolo di parallasse, cioè quanto più vicina è la stella.

 Proxima Centauri, ad esempio, che dista 4,2 anni luce dal Sole, ha un angolo di pa-rallasse di quasi 770 millisecondi d’arco e l’incertezza della misura può essere di pochi millisecondi (se le misure vengono fatte con un telescopio di un metro di diametro). L’incertezza percentuale della misura risulta così essere attorno all’uno per cento e la misura si può ritenere molto precisa. Per essa vengono però dati angoli di parallasse con precisione anche maggiore, come: p = (768,7 ± 0,3) mas, ma una tale precisione non può derivare dal satellite in orbita, perché con specchi da 25 cm risultano incertezze sicuramente maggiori.

Nota finale

Una volta eseguite con cura le misure astrometriche e fatte le opportune correzioni per tener conto del moto proprio e dell’eventuale impossibilità di rispettare i tre mesi esatti tra le due serie di foto, dopo aver trasformato l’ascensione retta temporale in ascensione retta angolare (anche in forma di gradi decimali) (1), si ottengono le coordinate angolari equatoriali corrette (α1 ; δ1) e (α2 ; δ2) dei due baricentri delle posizioni somma. Per trasformare le quattro coordinate equatoriali (angolari) ottenute in questo modo nelle quattro coordinate eclittiche λ1 e λ2 (per le longitudini) e β1 e β2 (per le latitudini), si applicano le formule seguenti (2) tenendo conto che ε rappresenta l’obliquità dell’eclittica (3):

tan λ = (sin α · cos ε + tan δ · sin ε) / cos α

sin β = sin δ · cos ε – cos δ · sin ε · sin α

(1) Esempio di trasformazione: AR = 1h 4′ 3,02″ diventa
     AR = 15° 60′ 45,30″ = 16° 00′ 45,30″ = 16,012583°

(2) Ricavate da Astronomia con il computer, ed. Hoepli (copyright 1990 da
     Astronomical formulae for calculators di Jean Meeus, 1985).

(3) L’obliquità dell’eclittica per l’equinozio standard 2000.0 vale:
ε (2000.0) = 23° 26′ 21,448″ = 23,4392911°.